咳の病院選びについて

10歳未満/男性 - 2018/12/21

以前、咳喘息で質問したものです。2週間程前から6歳の息子が咳が止まりません。

日中は痰が絡むような咳をしています。
夜は今までは夜中の3時ごろによく咳き込んでいましたが、今日は鼻水が奥にいるのか深く鼻で息をすると詰まって咳をしているようです。
また、今日は夜37.6度と普段より熱が高めでした。

小児科を受診し、最初のお薬はカルボシステインDS50%トーワ・プラスマリンA・フェノテロール臭化水素酸塩DS・モンテルカストを処方されました。
1週間経っても症状が改善されないため、薬を変えてもらいテオドール・プラスマリンA・フェノテロール臭化水素酸塩・アスベリン・ホクナリンテープ を処方してもらいましたが3日経っても症状が一向に変わりません。
日曜や祝日、年末年始が近いため明日違う病院にでも行こうと思っていますが、呼吸器内科か耳鼻咽喉科のどちらがいいのでしょうか。

近くの呼吸器内科はあまり評判が良くなく、鼻水があるなら評判のいい耳鼻咽喉科の方がいいのか悩んでおります。

耳鼻咽喉科でも咳喘息は見ていただけるのでしょうか？
もしくは呼吸器内科のほうがいいですか？
よろしくお願い致します。