熱の後の咳、咳止めについて

30代/女性 - 2020/05/04

一週間程前に風邪を引き、熱は下がったのですが、昨日から咳が出始めています。常に喉が詰まっている感じで、咳が出ると嗚咽してしまいます。

【質問】
1.熱が下がってから咳が出始めると言うことは、あるのでしょうか。考えられる病名があれば教えてください。

2.咳止めは、ウイルスを排出するためには、あまり飲まない方が良いとの話も聞いたことがあるのですが、本当でしょうか。
熱がなく咳だけの場合は、咳止めを飲んでも大丈夫でしょうか。