1歳2ヶ月の子供、1週間以上咳と鼻水が続いてます

乳幼児/男性 - 2020/07/13

7/3 保育園にて鼻水があると言われる。夜38.5の発熱。
7/4〜7/5 解熱。鼻水はさらっとした透明。乾いた咳が出始める。
7/6 病院へ。薬をもらう。喉が少し赤いと言われる。
7/7〜8 咳が痰を絡む咳になる。夜中に何度も咳をする。鼻も詰まっている。鼻水は黄色のねばねば。
7/9 改善される様子がない為、再度病院へ。少し胸の音ザラザラ？する。薬を変えてもらう。
7/10 変わらず夜中も苦しそうな咳。鼻水。
7/11 おでこや顔を触っても熱くないが、何気なく体温を測ると37.9度ある。本人は元気。
7/12 朝37.5。夜は熱なし。鼻水と咳は変わらず。ただ、夜中に乾いた咳になってきた。
7/13 朝37.5。寝起きに手が熱い。鼻水は変わらず黄色の粘着タイプ。

このような経過です。
備考として、慣らし保育が終わり保育園に通い出したのは7/1。保育園で鼻水、咳は流行っていると言われてた。
7/6より保育園は休んでいる。
本人は至って元気。食欲もある。
昼寝をよくするようになった。

質問したいことは、
1、鼻水、咳は薬を変えたにも関わらず、こんなに続いているのですが、ただの風邪なのに1週間以上続くものなのですか？
鼻水や咳は初めての経験なので他の病気ではないかと心配しています。
2、顔や頬は普通なのに熱が高いことはあるのですか？いつも顔を触って、熱がありそうなら測っていたので知りたいです。
掌は熱かったです。
3、明日で薬が終わるので再度病院に行くべきか迷っています。

以上よろしくお願い致します。