咳の症状に抗生物質は出さないのでしょうか？

50代/男性 - 2022/05/07

4/26に喉が痛くて声も出にくくなってしまったので、翌日内科にかかりました。トランサミン錠、ロキソプロフェンが処方されました。１週間くらいで良くなりました。
喉の痛みが治るころ、今度は咳と痰が出始めました。市販のアネトンを飲みましたが、薬の効果が切れると咳が出ます。あとくすりを飲む間隔を空けすぎると、飲んでもあまり効かなかったりします。薬を飲んでいても、夜寝る時横になった時や、朝に咳が出ます。
咳が出て5日目くらいになるので、今日別の内科を受診しましたが、リンサンコデインが出ただけで、抗生物質は出ませんでした。医者は2、3週間は咳が出るのは普通のことで、体内のウイルスが消えるまで出ますと言っていたのですが、

質問1.抗生物質を飲めば、その咳の出る期間は短くなるものではないのですか？2、3週間咳が出るのが普通だとしても周りの人にうつしたくないので、なるべく早く治したいと思うのですが…
ちなみに普段、高血圧の薬を飲んでいます。アムロジピン、テルミサルタン、トリクロルメチアジドです。
質問2.高血圧が関係して抗生物質を出せないのでしょうか？
よろしくお願いします。