風邪をひいているがインフルエンザの予防接種は行ってもいいか

10歳未満/女性 - 2022/12/01

5歳の子供です。10月末にコロナウィルスに感染し、その２週間後に38.6℃まで熱が上がり、2日目には微熱、3日目には平熱に戻りました。発熱時には鼻詰まりのみありました。
処方された薬を服用し、症状は軽減してきたが、痰が黄緑色で咳もしていたため１週間前に再度病院受診しました。
その2日後から鼻水多量で痰絡みの咳が多くなり、現在は透明の鼻水が少し、咳が多くあります。朝のみ痰が出ています。
１、症状が悪化したのは新たに風邪をひいたからでしょうか？
２、処方薬がなくなったため市販薬を服用したいのですが、新チルニン小児シロップでも大丈夫でしょうか？
３、明日インフルエンザの予防接種1回目を予定しています。市販薬を服用していても打つことは可能ですか？また鼻水、咳がある時は予防接種は控えた方がいいですか？

よろしくお願いします。