4歳の子供二週間ほど続いていた咳が悪化

10歳未満/女性 - 2024/11/10

4歳の子供ですが2週間ほど前に１日ほど熱が39.4℃くらいまで上がり翌日には熱は下がりましたがその後から咳が出るようになり病院で咳の薬をもらっていましたが2週間くらいたった今日、朝目覚めてから日中咳が止まらなくなってしまいました。
夜にかけて少し落ち着いてはきたようです。

前日に今日ほど酷くはなかったのですが咳が続いていた為再受診をしたところ今までの薬にプラスで抗生物質とモンテルカストも処方されましたが特に検査などはしていません。
抗生物質はあまり風邪症状などには効果がなく体内の他の抗体も無くしてしまうため良くないと聞いたことがあります。
検査なしに抗生物質を飲ませていいものでしょうか。また1日止まらない咳が出ていた場合肺の状態が心配です。
他に何か検査をした方がよいでしょうか。
教えてくださいますようお願いします。