ただの風邪ではなくヘルパンギーナなどの可能性はあり

10歳未満/男性 - 2018/10/16

4歳8ヶ月男児です。
14日の夕方に38.5度の発熱。
その数日前から鼻水が少し。
15日朝、喉の痛みもあり小児科を受診。
喉が少し赤いと言われ、風邪との事。
熱は15日朝はまだ少しあったが、お昼頃には下がってきて、15日夜には36.7度。
食欲はいつも通り食べられるくらいあったが、ごっくんする時痛いと言っていた。
今朝16日にはすっかり熱も下がり、喉も痛くないとの事で、朝ごはんもしっかり食べ、元気に登園。
17日にインフルエンザ予防接種の予定でしたが、1週間は空けてください、と言われました。
実は受診したかかりつけの予防接種予約は0歳と1歳の子が優先で、4歳の息子は予約が取れず、かかりつけではない総合病院の小児科で接種予定です。
総合病院からもらっているチラシでも発熱の場合は1週間空けるとあったのですが、プール熱やヘルパンギーナは2週間空けるとありました。
ちょっと気になって息子の喉を見てみると、昨夜（16日）の時点で喉の両脇に白っぽい小さなポツポツが一つずつ見えました。
今朝は喉痛もなく、白いポツポツが増えていることもなく、昨日ポツっとしていたところがまだ少し赤くポツっとしてるかな？という感じで、明らかに白くてポツポツしてるようには見えませんでした。
今回の息子の場合、ヘルパンギーナなどを疑う必要はなさそうですか？
予防接種の病院が違うので気掛かりです。
1すでに元気になりましたが、予防接種する病院を再受診して判断を仰ぐべきでしょうか？
2そもそも普通の発熱は1週間空ければ良いところを、ヘルパンギーナやプール熱のあとは2週間空けなければならないのはなぜですか？
3また、二週間空けずに接種してしまった場合、何か重篤な副反応や症状が出てしまうのでしょうか？
（風邪と言われたので、解熱後9日目の24日に接種しようかなと考えておりました。）