夜中にインフルエンザの検査に行くべきですか？

10歳未満/男性 - 2019/12/24

8才の息子のことです。５日前から咳があり、日曜の夜中に酷くなったので、月曜日に耳鼻科受診。
特に何にもなってないとのことで咳止めの薬などもらい、朝、晩と服用しました。
朝方、吐気と咳で目覚め、熱をはかると37.7℃。朝は元気そうでしたが、10時に38.8℃まであがり、かなりしんどそうでしたので近所の小児科を受診しました。
その時1回嘔吐がありました。
インフルエンザは陰性でした。
喉が赤いと言われました。
嘔吐は高熱からきたかもしれないとのことでした。
帰宅後カロナールを服用しても熱がまた上がるようなら夕方またインフルエンザの検査をしましょうと言われました。
ちなみに、１０月と11月に予防接種は受けています。

帰宅後カロナールを服用して36.9度まで下がり食欲もあり元気そうなので夕方の受診はしなくても良いと思ってましたが、受診時間を過ぎた今、また熱が高くなり少ししんどくなったようです。

この場合、夜間の病院へ行って検査してもらうべきですか？
夜中もしんどそうならカロナールを飲ませてもよいのでしょうか？

インフルだった場合、風邪薬は脳症の危険があるとTVで知り、なんだか飲ますのが怖いです。