喘息傾向でも猫は飼えますか？

乳幼児/女性 - 2015/10/11

今月2歳になる女児の母親です。
夏頃、祖母の家で初めて花火をした日から夜中に咳き込み吐くことが数日続いたので、小児科を受診したところ、喘息かもしれない、とのことで1週間程自宅での吸入と、現在も続けて朝晩プランルカストを服用しています。その後は夜中に多少の咳は出ているものの、かなり軽減し、吐くほどのことは滅多になくなりました。
なので、上の子の希望もあり、ネコを飼おうかと話していたところなのですが、先日、祖母の家から帰った夜、またひどい咳き込みとそこからの嘔吐が一晩に3回ほどありました。
卵白にアレルギーがあるので(血液検査で反応が出ましたが実際の症状が出たことはなく、現在全卵3/4個くらいまで食べられるようになっています)定期検査のときにネコ、イヌ、ウサギなどペットについても調べてもらいましたが、ハウスダスト、ダニとともにアレルギーはありませんでした。
祖母の家には動物はいないため、今回の咳き込みは線香の煙が怪しいのでは…と思っています。またネコが別室にいる家に何度か行っていますが、その夜に特に咳がひどくなったことはありません。

アレルギーがなくてもペットを飼うことで、今後咳がひどくなったり、喘息に移行してしまう可能性は高いでしょうか？
実際飼う前には、預かりトライアルをして、数日様子を見てからにしようと考えていましたが、それでは足らないでしょうか？
お時間のあるときに解答いただければ幸いです。よろしくお願いいたします。