子供が2ヶ月近く咳が出ています。

10歳未満/男性 - 2017/08/01

3歳10ヶ月の息子が2ヶ月前から朝、寝起きを主に咳をしています。
病院にはかかっていますが一向によくなりません。
喘息と言われていますが大きな病院で診てもらった方がいいでしょうか？

寝起きに発作的な咳がでます。
日中は比較的落ち着いていますが走ったりお店の中(冷房がきいている所)で発作的にゲホゲホと苦しそうな咳がでます。
2ヶ月近く経ちます。
その間に小児科でステロイドや抗生物質や咳止め、アレルギーの薬をもらってましたが良くならず、今は私が通っている喘息のかかりつけの呼吸器内科にみてもらっています。
小児科からも喘息と診断されていましたが呼吸器でも喘息だろうとインタール、パルミコートをネブライザーで吸入、シングレアとムコダインを飲み、ホクナリンテープを貼っています。
その治療を初めて1週間ちょっと経ちましたがいっこうによくならず、今日寝ながらしている咳が増えています。昨日までは寝ながらの咳は全くなかったのでおかしいなと思っています。
昨日鼻水の色が緑になったので感染を、起こしているのでは？と病院に行って抗生物質を3日分もらってきて2日
飲みましたが咳自体は変わらずです。
鼻水は少し詰まっているようですがそこまで苦しそうではないです。
今寝ながら咳をしていますが鼻水が喉に垂れて咳をしているようにも見えますが咳をしすぎて1度吐きました。

大きな病院で受診したほうがいいですか？
今から救急に行く必要はありますか？
喘息以外に疑う病気はありますか？

何卒宜しくお願いします。