火傷の手当の仕方

40代/女性 - 2020/04/09

昨日、4歳の娘がトーストにのったチーズで火傷しました。
どうした加減かパクっといった際にチーズがおでこにいってしまい。
トーストを落とし手首にも当り落下。
保冷剤で冷やしつつ、何分か大泣きしたあとに泣きつかれてその後そのまま寝てしまいました。
起きたあとに皮膚科に。(火傷してから3時間くらい経過)

おでこは皮が向けていてそのまわりは茶色くなっていました。
手首は冷やしたら赤みも引いていました。

おでこは初めから痛くないと。
皮がむけてるのに痛くないなんてことはあるのでしょうか？

エキザルベを処方されましたが、ガーゼ等の指示はなく(コロナのせいでガーゼがないとも聞こえてきました)、寝るときはうつ伏せで寝るときが多いので、うちにあった滅菌ガーゼを上からあてて夜寝かせました。
朝、黄色い液が出てきていたのですが、朝傷口を洗ってエキザルベをつけただけでよいものですか？
ガーゼなりサランラップを上から当てた方がいいでしょうか？
次の予約も特に言われなかったので、心配しています。