3歳男の子　日中の咳が続きます

乳幼児/男性 - 2020/09/21

何度か質問しています。
７月に鼻風邪をひいた後から咳が継続しており、いくつかの病院を周り喘息と診断するには早いけどとシングレアの内服をしてみましょうと言われ９月上旬から飲み始めています。元々朝の１時間くらい空咳が続くのが気になっていましたがシングレアを服用して二週間位経過した所でほとんど咳が出ない日があったのですが、9/16の午前中空咳が続いており、シングレア内服は継続し数日ホクナリンテープを貼ってみましょうと言われました。その日の夜中に発熱(38.7)し、翌日(9/17)の朝には37.0まで自然に解熱したのですが、念のため小児科(シングレアを処方されている病院とは違います)を受診したら喉が赤いと言われ、トランサミンとアスベリン、ムコソルバンを処方されました。シングレアの内服と数日ホクナリンテープの貼付を指示されている事を伝えましたが、それに対しては何も言われませんでした。
現在の状況としては熱はなく、日中家遊びをしていたり、自転車に乗ったタイミング、食事中などに数回コンコンとしますが継続はしません。公園で目一杯走ったりしても咳は出ません。また、喉が赤いと言われた日から、仰向けで寝るとイビキが酷いのですが外に垂れてくる鼻水はなく、耳鼻科もかかりましたが鼻水は全然ないと言われました。
1.ホクナリンテープは3日貼付と言われましたが継続した方がいいでしょうか？
2.元々イビキはあまり気にならなかったのですが、喉が赤いと言われた日からかなり目立ちます。起きている時はゼロゼロもゴロゴロも聞こえません。9/18に耳鼻科を受診した際にもその事を聞きましたが何も言われませんでした。アデノイドなどの可能性もあるのかと思って、イビキ時の胸の動きを見てますが特にヘッコンだりはしてません。
3.今の咳とイビキは新たに風邪をひいたとの認識で経過観察するしかないのでしょうか？