2歳の子、熱が39℃出て４日、診察しましたら、抗生物質が出ました。

10歳未満/男性 - 2021/07/17

2歳1ヶ月の子が39℃の熱が出て４日目、今日の朝は38℃になりました。咳、鼻水があり、呼吸がゼエゼエ言ってます。食欲はないです。
（以前から風邪をひくとゼエゼエいうので喘息の疑いがあるとのことで、あと5か月ほど毎日オノンドライシロップ10を飲むように言われてます。）

今日、病院で診察して頂いたところ抗生物質が出ました。レントゲンをしまして肺は問題無し、少々気管支炎はありそうとのこと。他、検査はしてないです。

ウィルスか細菌かわからないので処方された抗生物質を飲ませるのが副作用しかない可能性を考えると心配です。
最近保育園でプール遊びをしたので個人的にはウィルス性の風邪なのではと思っています..
処方された抗生物質（クラバモックス小児用配合ドライシロップ636.5mg5日分）を飲ませるべきでしょうか？

妻が病院へ連れて行き土曜日で診察が終わってしまい担当して頂いたお医者様には直接質問できなかったため、こういう形で質問させて頂きました。
よろしくお願い致します。