５歳 男児　風邪　咳について

10歳未満/男性 - 2021/12/05

５歳の子供ですが、12月1日の朝から少し咳が出てましたが熱なし元気だったので保育園に行き、帰宅後に喉の痛みと寒気を訴え、38℃の発熱。寝る前も38℃でしたが、翌朝(2日)には平熱に下がりましたが、まだ喉の痛みと咳があったので病院受診し、カルボシステインとモンテルカストを処方されました。それから熱はずっと無くて元気だったのですが、日に日に咳が酷くなり、今日(4日)は一日中かなり咳が酷く、お風呂に入ったあと寒気をまた訴え、今(5日の朝方)、37.3℃あります。夜中じゅう咳をしていました。これは咳のせいで、また熱が出ているのでしょうか？お風呂に入ったのがいけなかったのでしょうか？
とにかく咳が酷いのですが、このまま様子見で良いですか？また再受診するべきでしょうか？
ちなみに、いつも風邪ひくと咳が長引いて、２週間以上、咳だけが続いたりします。しかし、かかりつけ医では胸の音はキレイだから大丈夫と言われ、いつもモンテルカストを就寝前に１回と出されるのですが、この薬を飲んで咳が落ちついた試しがありません。飲んでも全く変わりません。結局いつも時間がたって自然に治る感じなのですが、薬が合っていないのでしょうか？モンテルカストって喘息の薬のようですが、咳に効かないのですか？
胸の音は問題ないのに、喘息の薬で合ってるのでしょうか？？
質問だらけですみませんが、よろしくお願いします。