1歳、熱の後の咳が長引いています

乳幼児/女性 - 2021/12/12

1歳になったばかりの子供について、2週間ほど前から保育園に行き始めたのですが、風邪をもらってきてしまったようで
2週間前に鼻水と38.7度の熱、その2日後に38.8度ほどの熱が出ました。

鼻水は黄色いものがずっと続いており、咳も2週間ほど続いています。

夜咳き込むようになったので、病院に10日前に行った際は喉は腫れていないので、横になると鼻水で咳が出ることはよくあるので様子をみてくださいと言うことで薬は出ませんでした。

鼻水と咳が良くならないので昨日別の病院に行ったところ、気管支炎になりかけているということで
セレスタミン配合シロップ、アレギサールドライシロップ、ホクナリンテープ、アスベリン散、カルボシステインDを処方されました。
いまも黄色い鼻水と痰の絡んだせきが続いています。

症状が進行してしまったのもあると思うのですが、病院により所見や薬の出し方がだいぶ違うことに戸惑っています。一般的にはどのように診察処方するものでしょうか。