3歳の子供、上がったり下がったりする熱

乳幼児/男性 - 2022/05/01

3歳の子供です。1ヶ月ほど前から透明な鼻水が出ており、風邪と言われたり、花粉症と言われたりして、点鼻薬とザイザルの内服をしていました。
4月22日に幼稚園から帰宅すると38度の発熱がありましたが、翌日には自然に解熱しました。
4月25日から鼻水が黄色っぽくなり26日午後から38度の発熱がありました。かかりつけを受診し解熱剤を処方されました。
4月27日朝解熱していましたが、夕方から熱が上がり始め最高38.8度まであがり、この日頃から咳がひどくなり、咳き込んで嘔吐を1回しました。
4月28日も同様に昼から発熱し、37.8度まで上がりました。咳き込んで何度も夜目覚めていました。
4月29日は一日中発熱はなかったのですが、熱がないのにいつもより機嫌も悪く元気がありませんでした。痰がうまく出せず苦しそうだったので休日当番医を受診し、カルボシステインシロップとプロカテ－ル塩酸塩シロップが処方になりました。
4月30日も機嫌が悪く、夕方から38度まで発熱し、夜中には解熱しました。痰がうまく出せず、咳き込んで嘔吐もしていました。
繰り返す発熱が不安で休日当番医を再度受診しましたが、検査はできず、電話診察のみで気管支炎でしょうと言われ、抗生剤、ホクナリンテ－プ、リンデロンシロップが処方されました。
食事や水分は多くないものの摂れいて、今日はいつもより元気な気もします。
私も同時期に発熱しており、今は軽快してきています。昨日新型コロナウイルスの検査で陰性でした。
経過がながくなってしまいましたが
・気管支炎でこのように1週間も熱が上がったり下がったりするものでしょうか。
・何か他の病気を疑って再度受診した方がいいでしょうか。
・リンデロンシロップは必ず飲み切るように言われましたが、どのような理由からでしょうか。
長文になってしまい申し訳ありません。