ハサミでの切り傷について

10歳未満/女性 - 2022/08/19

9歳の娘が、今日の午前中ハサミでの手の中指の先を切ってしまいました。
傷の長さは2センチ程です。
傷の深さははっきりとは確認できませんでしたが、浅い傷ではなく、3〜4ミリ位の深さはあったかと思います。すぐにティッシュで押さえて止血をしました。10分ほどでようやく出血は止まり、その後傷の表面を水で洗い流し、絆創膏を貼って今まで過ごしています。
お聞きしたいことが3点あります。
一つ目は、初めに傷口を流水で洗い流さなかった為、衛生的に大丈夫だったかという事です。普段工作などに使っているハサミなのでバイ菌が入ってないか気になってしまいました。
二つ目は、以前転んで膝を擦りむいた際に皮膚科でもらったバラマイシン軟膏という薬があるのですが、今回の傷に塗った方がいいでしょうか？
三つ目は、このまま様子を見て、化膿などがなければ受診しなくてもいいでしょうか。傷の状態に関わらず一度受診する方がいいでしょうか？
よろしくお願いいたします。