3歳の子どもが初めて発熱。突発性発疹の可能性はありますか。

10歳未満/女性 - 2023/06/13

3歳の子どもですが、3日間ほど38℃〜39℃の発熱がありました。生まれてから、予防接種後の発熱以外、高熱が出たり、体調を崩したりすることはありませんでした。
発熱の前日に、便秘のため小児科受診をしました。（小児科受診後便はでました。）翌日朝起きると、軽い咳が出ていました。咳をすることがなかったので、小児科で何かもらってしまったかなと少し気になっておりましたが、昼寝から起きると39℃近い熱が出ていました。
発熱以外の症状はほとんどなく、食事水分も取れ、ぐったりすることはありませんでした。
病院を受診しましたが、喉の赤みはなく、コロナではないかな、インフルも流行ってないとのことで、検査はしていません。
熱は3日ほどで下がり、発疹は出ませんでした。そのかわり、鼻水や咳が出始め、痰が出る様子です。食欲もいまいちです。
発熱してから、8日経ちますが、私たち大人には発熱等の症状は出ていません。

突発性発疹の可能性はありますか。
もしくは、別の感染症でしょうか。
咳鼻水が続くようなら、再度受診した方が良いでしょうか。

よろしくお願いいたします。