風邪症状の繰り返しと副鼻腔炎の関係性

10歳未満/女性 - 2023/07/28

6歳の小学一年生です。

6月から風邪症状を繰り返しています。
6月末には熱が出て白い鼻水が長く続き、耳鼻科にいくと副鼻腔炎と診断され、抗生剤を処方され一週間飲んで鼻水がよくなりました。（6月前半には熱だけ出ていました）

今度は一週間前から痰がらみの咳が続いています。一週間前から市販の咳たんのラムネ→粉薬→シロップと飲んでいますがよくなりません。

咳が出始めたころは鼻の横の目の下あたりに鼻水がたまっていると本人が言っていましたが、鼻水は出てはおらず、今も咳以外に症状はありません。これは副鼻腔炎が影響しているのでしょうか？

また、この状況で耳鼻科や小児科どちらに行った方がいいのでしょうか？（行っても改善は期待できないでしょうか？）
また、市販の咳止めを飲み続けるのはよくないのでしょうか？以前小児科の先生に聞いたときは病院処方も、市販薬も効果は変わらないと言われましたが長く飲んでいるので気になっています。

長々とすみません。
どうぞよろしくお願いします。