1歳5ヶ月の子供の咳が止まりません

乳幼児/女性 - 2023/11/12

1歳5ヶ月の娘の咳について相談です。
3ヶ月程前に風邪をひいて以来、寝ている時の咳が止まりません。寝てから2時間くらい経つタイミングと、朝方起きる2時間くらい前のタイミングで苦しそうに咳き込むことが多いです。咳はゲホゲホという感じの咳で、呼吸音は普通(ゼェゼェはしていない)なことが多いです。
発熱を伴う風邪には3ヶ月前から3回くらい罹っています。
鼻水は出続けているのですが、青い鼻水だったり、透明の鼻水だったり、その時によって見た目は異なります。
起きている時も、一生懸命走った後なども咳き込みます。
夜中の咳き込みで、鼻水の吸引をしてみても鼻水は取れず、水を飲ませて咳が落ち着くのを背中を撫でて待つだけで、どうにか治らないものかと悩んでいます。

今年4月に保育園に通い始めてから発熱の度に鼻水と咳をします。(今日までで咳を伴わない就寝をしていた時期は合計1ヶ月くらいしかありません)

一度モンテルカストを服用していた時期もありますが、(喘息検査はせず、14日処方しのみきり、少しマシになったかな程度でした)1回きりでした。

一度、お医者さんにかかり喘息やアレルギーの検査をしたほうがよいのかな？と思い始めているのですが、検査で原因が分かるものでしょうか？
また、咳を止める方法はあるものでしょうか？