夜間の咳がひどく、喘息と言われたのですが・・

50代/男性 - 2023/12/29

58歳の主人のことでご相談します。
10月ごろ胃の調子が悪く胃カメラをしたところ、逆流性食道炎との診断でタケキャブとアコファイドを服薬しています。
11月ごろ、急に夜間に咳が酷くなり寝れない日が続いたので再び受診しました。（昼はほとんど出ず、夜間のみです。）
X線も肺の音も問題なく、その時は貼り薬の咳止めを処方され1週間ほど様子を見たところ咳は治まってきたので、主治医は「ぜんそくの可能性がある」とのことでレルベア100エリプタという吸入薬を処方されました。
1か月近く吸入していますが咳はほとんど出ていません。

お訊きしたいのですが、やはりこれは喘息でしょうか？
一番怖いのは肺がんとかですが、がんの場合は喘息の吸入薬で咳が治まることはないのでしょうか？
その主治医は胃腸・肛門科が専門で呼吸器内科ではないのですが、このままそちらで診ていただいても構わないものでしょうか？

以上、教えていただけたら有難いです。
よろしくお願い致します。