1歳半の子供、2週間以上痰がらみの咳が続いています

乳幼児/男性 - 2024/01/20

1歳半の子供です。気になっているのは、12月31日くらいから痰がらみの咳をするようになり、今でも続いていることです。
昨年の12月28日、29日に38.0℃〜38.5℃の発熱があり、12月30日には解熱しています。12月31日に1度のみ嘔吐、その後下痢の症状が1週間ほど続きましたが落ち着きました。こちらは胃腸炎かなと小児科で診断されました。子供が痰がらみの咳をし始めて以降、周りの大人も次々痰がらみの咳が出るようになっています。喘息などではなく何かの感染症でしょうか。
また、昨日までは発熱はなかったのですが今日の午前から現在まで37.0℃〜37.5℃を行き来している状態です。(平熱は36.5℃〜36.9℃くらい)
1月6日以降小児科に二度行っていますが、カルボシステイン等の風邪薬をもらうだけで一向に良くなりません。発熱もないので…耳鼻科に行っても鼻水をよく吸ってあげてくださいと言われるだけで、その都度鼻水の吸引をしてもらったり、自宅でも威力の強い据え置き型の鼻水吸引機を使用していますが良くならず。
周りの大人にもうつっていることを考えると何かの感染症の可能性がありますか？(結核、肺炎等)全員痰がらみの咳のみの症状です。夜間は大人も子供もかなり咳き込んでいます。子供は1時間おきに咳で起き、オエっとなるほどの咳き込みです。夜間も起きるたび水分をこまめにとり、リビング・部屋共に常に加湿器を炊いています。
大人は喉の痛みもなく、鼻水が酷いということもありません。保育園に通っていますが、インフルやコロナが流行っていることもなく、アデノウイルスと胃腸炎が何人かいる状況ですが、小児科ではアデノウイルスは発熱していないため否定されました。そもそも小児科ではダメなのでしょうか…何かを受診するべきか、何の病気の可能性があるのか、何の検査をしてもらうべきか…教えていただきたいです。