4歳の子どもの咳症状、受診の必要はありますか？(家族が細菌性の風邪疑い)

10歳未満/男性 - 2024/11/23

4歳の子どもです。8日ほど前から痰の絡む咳が出始めました。元気食欲あり、発熱などその他の症状はありません。
咳は朝と晩に毎日しつこく続いてはいますが、日中は少し落ち着いていて夜は眠れています。病院が苦手なので昨日から市販の咳用シロップを飲ませています。

子どもの咳の翌日から家族の1人に喉の痛み(その他症状無し)が出始め、日中治っては夜に酷くなるを1週間繰り返したので病院を受診したところ、コロナインフルは陰性で、喉の痛みは細菌性の疑いがあるとの事で抗生物質を処方されました。

質問なのですが、
1)家族が細菌性の風邪疑いの場合、最初に風邪を引いていた子どもも細菌性の風邪なのでしょうか。
2)ウイルス性の風邪で弱っているところに細菌が悪さをするというパターンもありますか？
3)今の状況は子どもも病院を受診して抗生物質などもらうべきでしょうか。それとも、このまま家で様子見でも問題ないでしょうか。
よろしくお願いします。