喘息なのでしょうか？

乳幼児/男性 - 2013/10/23

生後5ヶ月の子供なんですが、二週間くらい前から、一日数回(10回未満)咳き込むようになりました。朝晩だけのときもあれば、日中することもあります。
一度、コンコンっとむせるように咳をすると5〜6回続けて咳き込む感じで本人もえずくような顔をしてます。
はじめは鼻水が少し多いようだったので小児科にかかると鼻風邪という診断で、咳止め、鼻水止め、痰切りの薬と、抗生剤が出ました。
飲ませてもあまり変わらないので別の小児科にかかったところ、胸の音や喉に異常はないけど、
・咳止めで良くなっていない。
・風邪なら時間の経過とともに軽快していくはずだが、変わっていない、むしろ増えている日もある。
・寝ているときにいびきをかく。息が苦しそうなときがある。
との点から、喘息かもしれないと言われました。
生まれつき気管が細いのかもしれないとも。
5ヶ月ではまたアレルギーなど確定出来ないとよく聞くのですが、どうなんでしょうか？
5ヶ月で喘息ってあるんでしょうか？
また、このような症状は喘息なのでしょうか？
気管を広げる薬と、テープを処方されました。
私の家族はアレルギーの者も居ますし、喘息で大変苦しんだ者も居るので、心配しています。
回答お願い致します。