咳 1ヶ月 続いている どうすればいいですか？

20代/男性 - 2016/07/25

風邪を引いて出始めた咳が1ヶ月続いています。
咳はたんがからんで出る咳と、喉に何かが張り付いたようにイガイガして出る咳と2種類あります。

先週、呼吸器内科で診察を受け、レントゲンも撮りました。
診断は副鼻腔炎と少しだけ気管支が狭いとのことでした。
具体的な治療（気体の薬を吸い込むものなど）は特にしてもらっていません。
薬ももらいましたが、1週間経ってもよくなりません。
その病院からは、「2週間後にまた来てください。」と言われています。

先週行った病院でもらった薬を服用して、もう少し様子を見るのがいいのでしょうか？
それとも、具体的な治療をしてもらえそうな病院に行くのがいいのでしょうか？
あるいは、別の病気の可能性を考え、改めて検査を受けなおした方がいいのでしょうか？
また、これは何の病気が疑われるのでしょうか？

ご意見よろしくお願いいたします。