１ヶ月以上続く子供の咳 4歳

乳幼児/女性 - 2018/08/08

5週間前に溶連菌になり、それから痰が絡むような咳が治りません。
4歳児です。
朝乾いた咳をし、そのあと、痰が絡むような咳に変わります。
１ヶ月以上も咳をしており病院をまわりましたが、鼻が悪いとか喘息気管支炎など病院によって違う診断でした。
大きな病院でレントゲンをとり、
鼻にたまたま副鼻腔炎が見つかりました。
気管支炎、副鼻腔炎はたまたま見つかって咳の大きな原因ではないと言われました。鼻水も透明でほとんど出ません。
咳は汚い咳で、朝がひどく、日中時々出て夕方また時々出だすのが続いています。他には笑ったり走ったりで咳もします。
抗生剤を
体重19.5キロで病院からサワシリン細粒
10% 100mg 一日三回12g出ました。
多いようなので飲ませるのが心配です。

医師に確認すると、飲ませる時は飲ませて、飲ませないなら飲ませないほうがいい、薬は多くないと言われました。

長く続く咳の原因はよくわからなくなっている場合、抗生剤はやっぱり飲んだほうがよいのでしょうか？

咳は１ヶ月以上続いている場合細菌のものなんでしょうか？

飲ませないと細菌が回ってしまい他の重大な病気になったりしないか心配です。

お薬の量も心配です。

アドバイスお願いいたします。