１歳児 大量の青っ洟がおさまらない

乳幼児/男性 - 2019/12/06

１歳（もうすぐ２歳）の息子が、青っ洟が半月以上続いています。
量も結構です。気づいたら両側から垂れています。鼻をかむとズビズビと出てきます。
何の病気が考えられるでしょうか。

先月中旬ごろ、高熱が続き、炎症反応が高く川崎病疑いで入院しました（結局川崎病ではなかったようで、何かのウイルスに感染したんだねということでした）。
その時に熱が下がってきた頃から青っ洟がすごく、1週間後の通院の時も出続けていたので、小児科で風邪薬に加えてワイドシリンという抗生剤も3日分出してもらいました。
４歳の兄も同じように青っ洟が酷かったので、同じ薬をもらいました。
兄はその3日分で結構改善したのですが、１歳のこの子は全くよくなる兆しがなく、今に至ります。

小さい子は長引くと聞きますが、量がすごいのと、青っ洟なのが気になります。

どんな病気が考えられますか？
鼻水以外は症状はないのですが、もう一度病院に行った方がいいでしょうか。
行くなら、入院した病院の小児科か、他の耳鼻科か、どちらがいいでしょうか。