重い熱中症だと体温は必ず高いのでしょうか？

70代以上/男性 - 2020/05/31

85歳の父が今日夜、頭痛がすごくすると言って頭痛薬のロキソニンを飲み今就寝しました。普段はそうそう薬を飲まないような人間なので相当痛みがあったようです。
数ヶ月前にも同じような頭痛があって病院で脳のCT？を撮影したのですが異常はなかったそうです。
体温は37度2分、パルスオキシメーターの値は脈拍数が99〜100、酸素飽和度は97〜98でした。

父が寝た後にふと熱中症で頭痛がする事があるという話を思いだしました。脈拍数はいつもより少し速い様ですが、熱中症の症状で脈が速くなるともネットに書いてありました。
話が長くなりましたが、体温が37度2分と少し高い程度だったので熱中症だとしてもそんなにひどくないと考えて良いのでしょうか?
今もう寝ているのですが、大丈夫かなという気持ちがあります。

また他になにかアドバイスがあれば教えてください。
よろしくお願いします。