生後3ヶ月 38.5度 熱中症

乳幼児/男性 - 2020/07/31

生後3ヶ月の男の子です。
昼過ぎに車で街まで出掛けてお買い物に行き、ベビーカーで移動してました。
何件かお店を回ってエアコンの入った部屋に入ったり外に出たりを繰り返してました。19時過ぎに帰宅後、体が熱く熱を測ったら38.5度の熱がありました。
授乳をしながら脇の下や頭を保冷剤で冷やし、母乳を飲んだ後、寝ている間に熱を測ったら37.2度まで下がりました。その後も何度か熱を測ったら37度くらいで、母乳もミルクもいつも通り飲んで、今は寝ています。
このまま普段通りであれば病院を受診する必要はないのでしょうか？
熱が下がっても後遺症が残ったりするのでしょうか？

あと、外出する際は何時間まで大丈夫なのでしょうか？
お外をベビーカーで歩くのであれば15分が限度ですか？

あと、母乳以外で水分補給として白湯をあげても大丈夫でしょうか？白湯をあげれるとしたら量はどのくらい可能でしょうか？

ご回答よろしくお願いします。