夕方に鼻水で受診、帰宅後に発熱(初めてです)

乳幼児/男性 - 2020/10/21

1歳2ヶ月の男の子で、一昨日から鼻水が出ていて様子を見ていて今日もまだ出ていたので夕方4時ごろに耳鼻咽喉科へ行き、鼻水とたん止めの薬をもらい帰宅しました。
(平熱は37.0度、今朝の体温は37.6度でいつもより少し高いだけなので暑いだけかな？と気にしてませんでした)

帰宅し、念のためと思い体温を測ったら38.5度あり、何度か測って38.3度や、37.9度などになってます。
いつもより大人しい気がするけど、機嫌も良く元気にしてます。
今まで発熱をしたことがないので行きつけの病院も特になく、予防接種も母の行きつけの婦人科で子供の予防接種もしてくれていたので小児科に行ったことがまだありません。なのでどう対処したら良いのかわかりません…とりあえず冷えピタを貼り、薄着にしてみましたが様子見で良さそうでしょうか？
様子見で、もし夜間に高熱になった場合の対処も教えていただけたらと思います。