２歳の子供、2ヶ月間咳が出てます

乳幼児/女性 - 2021/04/08

２歳4ヶ月の子供です。2月の中旬ごろ鼻風邪を引いたので小児科に行って薬をもらい1週間飲みました。
しかしなかなか咳と鼻水がよくならず、様子を見ていましたが再度3月中旬に小児科に診てもらったところ鼻風邪が長引いているとのことで薬をもらい、1週間飲みました。
それでも治らず、鼻水のせいで咳が出るのかと思い、今から1週間前に耳鼻科に行ったところ、少し副鼻腔炎気味になっているとの事で オロパタジン塩酸塩顆粒0.5%と、カルボシステインドライシロップ50%を2週間分処方してもらい1週間飲んでいます。
鼻水は少し減ってきたように感じますが、なかなか咳が治りません。
因みに咳は痰が絡んだような咳で寝起きによく出ます。寝てる時も出たりします。熱はないです。
そこで質問です。
1.咳の原因はなんでしょうか。
2.また病院に行くとしたら小児科で良いのでしょうか？

ずっと痰が絡んだ咳が出ていると心配してなので教えてください。
よろしくおねがいします。