一歳の子供　31日から発熱が続いています

乳幼児/男性 - 2021/06/06

29日夜間より黄色い鼻水が出始め、31日昼過ぎから38.5度、夜間には40.1度と熱が上がり始め、解熱剤をうっては下げてを繰り返して6日間経過しました。日中は37.5-38.7度、夕方から夜間が39-40度に上がりなかなか熱が落ち着きません。食欲はまだあり、水分もとれますがだんだんやせてきたように感じます。地元のクリニックを3日に再診した際、突発性発疹の可能性があるといわれ抗生剤投与を始めましたが、なかなか熱が下がらず、ここ2日は日中夜間の咳こみが目立ち、あまりねれていません。私と周りの家族にも風邪がうつり、喉の痛みと鼻水、37-38度の発熱がでています。
突発性発疹はこんなに長く高熱が続くものでしょうか？他の病気もないか心配です。そして大人にもうつるんでしょうか？夜間の咳こみもひどいのですが、何かしてあげられることはありますか？
ご回答よろしくお願いします。