一歳半の男の子、初めて熱性痙攣を起こしました

乳幼児/男性 - 2021/11/02

一歳半の子供ですが、30日から咳が出始め、37度7分の発熱がありましたが、いつも通りの生活を送れていたので様子見をし、次の日も咳と37度7分〜38度2分の発熱がありましたが、この日もいつも通りだったので様子見をしていたのですが、11/1の朝6時くらいから、38度6分の発熱があったので、2時間おきくらいに測っていた所、38度後半から39度の熱がずっと続いていたので小児科を受診しました。（この子の姉が29日に40度の発熱があり、血液検査をした結果、炎症反応等が少し高かったので細菌性の風邪だろうという事で抗生剤を処方されていました）
おそらく、同じだろうという事で検査せずに抗生剤（フロモックス）などの薬を処方され、2回飲ませていました。
その日の19時過ぎに初めて熱性痙攣を起こし、救急で受診した結果、単純性の熱性痙攣と言われ、CRPと血糖値の検査をした所
問題ありませんでした。
質問なのですが、細菌感染ではなかったのに、抗生剤を飲ませてしまって問題はないのでしょうか？4日分処方されているのですが飲み切った方がいいのでしょうか？
ポララミンシロップを処方されて2回飲ませていたのですが、この薬は痙攣を誘発させる可能性があると聞きました。今回の痙攣はこの薬を飲んで起きた可能性もあるのでしょうか？（以前処方されて飲ませた時は起きませんでした）
熱性痙攣はどのような時に起こるのでしょうか？
今回の1回で起きなくなればいいのですが、てんかんが心配です。
てんかんがある可能性はありますか？
よろしくお願いします。