1歳1ヶ月 親指爪切りで切ってしまった

乳幼児/女性 - 2022/04/02

1歳1ヶ月の娘です。
今日、親が爪を切ってくれたそうなのですが、大人用の爪切りで切り、誤って親指まで切ってしまいました。慌てて圧迫し止血しようとしましたが、指をしゃぶってしまい、指しゃぶりのあととりあえずカットバンで保護しています。
このまま様子を見て、カットバンを変えるときに消毒や市販の薬を塗りたいのですが、指しゃぶりがあるのでどうしようかと悩んでいます。

今できる処置（やった方が良い処置）、どのような状態になったら病院に行った方が良いのか、またかかるなら何科に行った方が良いのか、教えて頂きたいです。