手足口病でしょうか？湿疹？

乳幼児/男性 - 2022/07/21

先週金曜日に手のひらに赤く湿疹があるのを発見し、念のため小児科へ。
熱もなく、他の箇所の湿疹もなし。口の中に少し気になるのがあるから、おそらく手足口病でしょうとの診断でした。薬等はもらっていません。
現在まで、熱、下痢、痒がる様子もありません。食欲もあり、水もいつも通り飲めます。

1週間後の今日、足を見ていたら、足指の間に赤く湿疹が出ていました。足の裏ではなく、足指の間です。

1.手足口病で、1番初めに湿疹が出てから、1週間後また別の箇所に湿疹ができることはありますでしょうか。またこれから熱が出たりの可能性はありますか。
2.手足口病の可能性が薄いのであれば、皮膚科に連れて行ったほうがいいでしょうか。
3.小さい子がたくさん集まるような場所にはまだ連れて行かないほうがいいでしょうか。

ご教示頂ければと思います。