熱無しの頭痛、嘔吐。緊急で病院にかかるべきでしょうか？？

10歳未満/男性 - 2022/09/27

8歳10ヶ月の男児についてです。よろしくお願いいたします。

状況の経過を下記に箇条書きにします。

・8時前に検温、36.6度。通常通りに登校。9時半位に学校より嘔吐したと連絡有り。
体調不良を訴え保健室で休んでいた時に嘔吐したとの事。
・帰宅途中にも一度嘔吐(胃液のみ)
帰宅後も頭痛、吐き気を訴える。目の奥が痛い感じ？？頭が痛いと言う。
帰宅後は嘔吐無し。検温結果36.2度

上記のような状態で、今は寝ています。
頭が痛くて痛くてどうしようもない、という程ではなかったようなので薬は服用させていません。
昨日までは変わった点は見られませんでした。特に他の風邪症状もありません。今朝も特に変わった様子もなく投稿しました。(体調不良を訴える事はなかったです)

調べてみると発熱がある時の頭痛より熱がないのに頭痛がある時の方が怖い(脳の病気等)と書かれており、早急に病院にかかるべきとの意見も見られ大変不安です。
子供の目の奥が痛い感じというのも気になります。
私自身もそうなのですが偏頭痛で嘔吐したりする時に目の奥が痛くなり嘔吐します。
毎日かなりの時間スマホを見たりゲームしたりしているのもあり、偏頭痛なのかなとも思うのですが、脳の病気だったら…とも思い受診した方がいいのかなとも思い相談させていただきました。

受診するとしたら脳のMRIも取れるような小児脳外科があるような大きい病院の方がいいのでしょうか？
また、ネット等にも記載されていた通り子供の熱無しの頭痛の場合は脳腫瘍等疑われるのでしょうか？
薬を飲ませていいのかもわからなかったので飲ませてないのですが、小児用の鎮痛剤等飲ませてもいいのでしょうか？

大変不安です。
アドバイスいただけますと幸いです。
よろしくお願いいたします。

脳外科分野、他 に限定して相談しました