生後６か月の男の子の赤ちゃんの空咳が止まりません。病院に何度も受診しお薬服用、胸の音も悪くありません

乳幼児/男性 - 2022/10/09

生後6か月になる赤ちゃん(男の子)が居ます。
8/30に市の集団での４か月検診が有りBCGを接種。その後9/1から空咳のみが止まらなかったので２件の小児科を受診。
ゼーゼー、ヒューヒューする喘鳴なし。

一件目⇨聴診器を当て胸の音は悪くないけどうちでやる事はないと言われカルボシステイン？のシロップを出されたので５日間飲むも止まらず。治らない為２件目の小児科にかかる。

２件目⇨こちらも小児科、アレルギー科の先生で受診した所"気管支喘息"という診断を受けました。
⭐︎アスベリンシロップ0.5%
⭐︎プロカテロール塩酸塩シロップ5ug/mL
⭐︎ペリアクチンシロップ0.04%
⭐︎カルボシステインシロップ小児用5%

↑↑⭐︎のついた薬は全てシロップで混合されているものになります。シロップで4mLまで朝昼晩と飲むように処方されています。

その他に、、
★ホクナリンテープ0.5mg 1日1回貼付

という上記内容の処方を服薬しています。
ホクナリンテープは6日で無くなってしまって(貼りミスもあり枚数足らず)一昨日から貼らずで過ごしています。

ホクナリンテープを貼らなくなったせいなのか、、ただ単に寒かったりの寒暖差のせいなのかわかりませんが上記の処方で咳が全然出なくなるまでになったのですが、、
今日からまた空咳が小まめにコンコンコンっと出るように。。
混雑シロップを出された最初は空咳から鼻水⇨鼻詰まりに移行して咳が段々なくなっていきました。
現在は鼻水はまだややありますがほぼなくなってきています。ただまた空咳がって感じです。初めに戻ってしまいました。

どうしたら空咳がよくなりますか？？
RSウイルス、コロナ検査は問題ありません。
中々治らないので病院に行き通しで心配です。お薬も長く飲ませるのも心配で。。
教えてください。