3歳の子供、抗生剤について

person乳幼児/女性 -

いつも先生方にはお世話になり、とても助かっております。
今回もご回答いただけたら嬉しいです。

3歳8ヶ月女の子
【月曜日からずっと】うんちがゆるめ
下痢まではいきませんが、形があるうんち と少しベチャッとなってしまううんち があり

【水曜日夕方】黄色い鼻水が出始める

【木曜日朝】急に痰が絡んだ咳が出始める
     多めに咳がでる、夜中も咳 
  
【金曜日】咳の頻度がさらに増える。昼寝あまりできず。
保育園で15:30に37.9℃、17:00には家で37.1℃
あまり食欲がなく、18:00腹痛をうったえ病院へ
病院で38.9℃
帰宅後、小さなゼリーを3つ食べ処方された薬を飲む
【処方された薬→咳・鼻水止の薬、抗生剤5日分】
咳がひどく眠れず、22:00頃鼻を吸いに一階へ降りたところ、咳込みながら2度嘔吐
落ち着かせ飲み物を飲ませるとまた嘔吐
抗生剤も全て嘔吐したもよう
その日は咳がひどく寝たのは4:00〜5:00の一時間のみ

【土曜日】咳が少しマシになる
朝から食欲あり
12:30 38.9℃カロナール服用
13:00〜16:00昼寝 寝付く際咳あり。寝ている間と起きた時は咳なし
一気に咳が落ち着いてくる。
21:00就寝 寝る際も今までも咳なし

このような状態です。
先生方にご教示いただきたいのは、抗生剤の件です。
細菌感染かもわからないのに抗生剤が出たのは大丈夫?やめた方がいいんじゃないか?
と友人に言われたことです。
友人は医者でも薬剤師でもありませんが、医療従事者です。
病院で出されたのでそのまま朝昼晩と服用させましたが、やめさせた方がいいのでしょうか?
飲ませたのは金曜日晩からです
→金曜日晩のは嘔吐で出た可能性大
抗生剤は途中でやめたらダメときき、心配になりました。

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