子供の指の火傷について

10歳未満/男性 - 2022/12/22

8 歳の子供ですが、先程、小さいカップラーメンをひっくり返してしまい、かなり熱いスープが中指と薬指にかかってしまい、水道の水で冷やしてから、保冷剤でずっと冷やしていますが、子供が冷やしてないと痛いと言ってきます。
火傷の部分は、少し腫れて赤くなっています。

もう病院はしまっているので、これから市販薬を買いに行こうと思っています。
インターネットで火傷の薬を調べたら、ドルマイシンやキップパイロール、オロナインが出てきましたが、子供は8歳ですが、上記に書いた薬のどれかを買ってきて塗っても大丈夫でしょうか？
どれでも効き目は同じでしょうか？

それから、息子が、冷やしてないと火傷が痛いと言ってずっと冷やしていますが、ずっと冷やし続けていても大丈夫でしょうか？
明日、病院を受診すべきでしょうか？

色々と質問してしまい、すみません。
宜しくお願い致します。