生後2ヶ月の赤ちゃん、保冷剤で凍傷なのでしょうか。

乳幼児/男性 - 2023/08/23

生後2ヶ月の男の子の赤ちゃんです。外に車で出かける際、チャイルドシートが熱くなりやすく、車を止めてスーパーなどに行っている間、保冷剤でチャイルドシートを冷やしています。
今回、保冷剤を退かして、赤ちゃんをチャイルドシートに乗せた後、冷やすのに使っていた保冷剤をチャイルドシートと座席の隙間に置いたままで、車を発進させてしまい、きちんと別の場所に移動させなかった為、赤ちゃんの素足に布の袋に入れただけの保冷剤が当たっており、家に着いて保冷剤の入った袋を退けると、接触していた部分の足がしっかりと赤くなっていました。赤くなっていた部分は冷たくなっており、しばらく冷たいままでした。泣いたり、赤くなった部分を触っても泣いたりはしませんでした。

心配で、40度のお湯をシャワーで出し、6分程度当て、赤みは10分程で落ち着いてきました。家に帰るまでの約30〜40分間の間、保冷剤は当たっていたと思います。1時間くらい経ったのですが、今は再度赤くなることは無く、赤みは落ち着いたままです。

凍傷だったのであれば、早めに病院に連れて行く方が良いのでしょうか。それとも、赤みが落ち着いている場合、様子を見て変化があれば病院なのでしょうか。赤ちゃんで皮膚も薄いと思い、赤みが引いた後の今も心配でどのように対応した方がいいのか教えていただけないでしょうか。