0歳11ヶ月の息子 手足の発疹と風邪症状

乳幼児/男性 - 2023/09/08

0歳11ヶ月の息子についてです。
8月中旬頃に、足の裏に赤いポツポツができはじめました。その後、手のひらが赤くなっていることに気付き、8月28日に皮膚科を受診しました。痒がる様子は特にありません。病名等は何も言われず、汗が原因とだけ言われ、ベトノバールGクリーム0.12%を処方されました。
１日2回塗っています。
その2日後位から、手のひらの皮がボロボロ剥けています。
足の裏も改善せず、赤いポツポツが足の甲や指の間にも広がってきました。皮も少し剥けています。
手足の症状と関係あるのかないのかわかりませんが、9月3日から2日間程38℃の熱が出ました。鼻水と少しの咳があり、風邪の症状でした。
元気にしていたので、特に病院は受診しませんでした。
本日（9月8日）現在は、手足の荒れと、少しの咳がある状態です。

1 手足の症状は、本当に汗が原因なのでしょうか?　写真だけで病名はわかりますでしょうか?
2 手足の症状は、人にうつる可能性はありますか?
3 保育園で、手をアルコール消毒するのですが、かけても大丈夫でしょうか?
4 風邪症状と手足の症状は関係あるのでしょうか?
5 塗り薬をやめて、再度別の皮膚科を受診した方がいいでしょうか?

お手数ですが、ご意見を頂けますよう、お願いいたします。