5歳の子供、長引く咳、風邪症状なし

10歳未満/男性 - 2024/04/01

5歳の子供です。
2週間近く乾いた咳がつづいています。

他に風邪症状はなかったので、副鼻腔炎かもと思い耳鼻咽喉科へ行きました。
結果副鼻腔炎ではなく、喉の赤みもなく、鼻の風邪症状もありませんでした。
アレルギー検査もしましたが花粉もハウスダストも陰性でした。
風邪症状がないことからアレルギーを疑われアレロック(1日2回、朝と寝る前)が処方されました。
その夜から飲ませ初め、咳は一切出ずほっとしたのですが9時間後からまた咳がはじまりました。
効いた！と思い朝も飲ませようと思ったのですが、すごく眠いのかしんどそうで朝はやめてしまいました。
その日から夜のみのませています。

そこで質問なのですが、
(1)アレロックが効いたということはアレルギーの咳なのでしょうか？咳喘息ではないのか心配しています。飲み始めてからほんの少しだけ痰がからむようになりました。

(2)夜のみ飲ませているのですが、それでもものすごく眠いのかいつもはしないお昼寝をしています。やはり処方された通り朝ものむべきなのでしょうか？

(3)寝ている時は薬のおかげで咳は朝方までは出ていませんが、日中はまだ咳がつづいています。マスクをすると少しやわらぎます。
耳鼻咽喉科ではなく小児科を受診すべきでしょうか？
咳以外は元気で食欲もあります。おしっこもうんちもいつも通りです。

(4)薬を飲み始めてから(3日)毎日鼻血が出ているのですが、薬の影響でしょうか？

長くなってしまいましたが、どうぞよろしくお願いいたします。