4歳の子供、5日熱があり夜間の咳がひどいです。

乳幼児/男性 - 2024/05/30

4歳の子供(体重13.1キロ)ですが、土曜の夜中に40度熱が出て、そこから今日まで熱が上がったり下がったりを繰り返しています。下がるといっても、36.0度台ではなく、37.2~38.7あたりをうろうろしています。 咳は熱が出る2日前ぐらいから少しありましたが、夜間の咳が徐々に酷くなっておりぐっすり眠れない様子です。咳は乾いてはいますが、若干痰が絡んできたような感じがあり、1回ずつ立て続けに出て、オエッとなるまで出る感じです。
透明な鼻水も少し出ており寝る時に鼻づまりになるため、副鼻腔炎のように咳が起こりやすいようです。(副鼻腔炎気味とは以前より医師に診断されていました)
前々日医者にかかりましたが、コロナやインフルやアデノ等の鼻で検査するウイルス系の病気の結果は陰性で、咳と鼻のシロップと(カルボシステインなどの3種混合)ピンク色の抗生物質4日分をもらいましたが、抗生物質を飲ませることに抵抗があったので(ほんとに必要なのか)飲ませていません。
細菌系のウイルスかもだからという理由と、熱が続いているからという理由でもらいましたが、飲ませたら治るのか悩んでいます。