4歳 右目の腫れについて

乳幼児/男性 - 2024/06/02

6/1(土)の午後から右目が腫れ、目尻側が若干充血しているようにみえます。
上まぶた、下まぶたが腫れ、皮膚も赤く虫刺されのようになっています。

本人が痒みがないとのことだったため、虫刺されかと思いましたが、腫れが引かないため質問させていただきました。

5/29(木)あたりから朝の起床後緑色の目やにが目の周りについていました。その際も痒みはなく、もともと咳や鼻水などのアレルギー症状があったため、目にもバイ菌が入ったものかと思っていました。このとき発熱は1度もありませんでした。
耳鼻咽喉科で咳、鼻水の症状を診てもらっていましたが目やにについては受診後からの症状だったため相談できていません。
耳鼻咽喉科の先生は風邪症状ではなくアレルギー性の咳、鼻水であるとの診断でした。

いままでにも風邪を引いた際に緑色の目やにが出ることがあり、小児科にかかった際に相談していましたが時間が解決するとの先生の判断で点眼薬の処方を受けていません。

質問は2点です。
・6/2（日）すぐ受診できる眼科、小児科が近隣にないためドラックストアなどで点眼薬を購入したく考えています。
幼児の目薬は市販薬でも代用できますでしょうか。素人判断で結膜炎、ものもらいなどの点眼薬を買わない方がよいのでしょうか。
・子どもの目の悩みについては小児科、眼科どちらを受診すべきでしょうか。かかりつけの小児科があればそちらを受診してよいでしょうか。