3歳の子供　長引く咳と発疹について

10歳未満/男性 - 2024/06/24

3歳半の息子ですが2ヶ月ほど咳が続いています。
・内科を2回受診(5/18.22)し咳止め等をもらいましたが回復せず。
・耳鼻咽喉科も受診(6/15)し鼻炎で鼻水が喉に流れ込むことによる咳とのことで薬をもらいましたが回復せず。(←ここまでは熱なし)

どうしようかと思っていたところ
・6/21に38.9℃の熱、嘔吐のため再度内科を受診しました。喉に少し発疹がありそうなので手足口病かも？とのことでした。
・6/23朝に足と手に発疹ができはじめる。
といった流れです。(よく聞く足裏や手のひらにはできていません)

素人考えですが
・長引く咳はダニなどアレルギーが原因で発疹もダニによるもの？
・長引く咳は関係なく新たに手足口病にかかった。

もしダニが原因ならば本日、皮膚科を受診しようかと思うのですが手足口病ならば控えた方が良いかなと思い悩んでいます。
写真も添付しますので、よろしくお願いいたします。