3歳11ヶ月男児　痰の絡んだ咳が2ヶ月近く続く

10歳未満/男性 - 2024/09/22

3歳11か月の男児ですが、7月末から痰の絡んだ咳が続いています。
かかりつけの小児科では、8月初旬時点では風邪か喘息かということで咳止めの内服薬、ホクナリンテープの処方と吸入器の貸し出しをしていただきましたが良くならず、起きた直後に黄～黄緑色の鼻水がくしゃみと共に出るようにもなりました。
8/12の受診時に顔と胸部のレントゲンを撮り、肺は問題なさそうだけど左の副鼻腔が若干白くなっているから副鼻腔炎かもということで抗生物質を10日分処方していただきました。
ですが抗生物質を飲んでもなかなか改善せず、その後も咳止め薬の服用を続けて9月頭にようやく治まったのですが9/7に発熱し、熱自体は1日で下がったものの再び痰の絡んだ咳と汚い鼻水(朝だけ)が出るようになってしまいました。
体調が治りきる前に幼稚園で新たな風邪などを貰っているのかもしれませんが、一旦治まったとはいえ咳が2ヶ月近く続き薬を飲んでも全然治らないので心配しています。

現在の症状
・痰の絡んだ咳(特に夜になるとひどくなります)
・黄色～黄緑の汚い鼻水(朝起きた直後のみ)
・たまに喘息のようになって喘鳴、咳が止まらなくなり吐き戻してしまうことがある
咳が続いているものの、本人はいたって元気で走り回ったりしています。

質問
・どのような病気が考えられるでしょうか
・再度のレントゲンや採血など、詳しい検査をお願いした方がいいでしょうか
・週明けに受診する予定ですが、かかりつけ小児科と耳鼻科、どちらに受診した方がいいでしょうか
ご回答いただけますと幸いです。