7歳の子供、鼻詰まりの抗生物質について

10歳未満/男性 - 2025/01/27

7歳の子供ですが鼻詰まりが長いこと続いているようで一度見てもらおうと思い耳鼻科に行きました。
鼻を軽くのぞいたあと鼻水に粘りがあるから抗生物質（バナンドライシロップ）と花粉症のためアレルギーの薬を出しますねということでした。
このような簡単な診察で抗生物質が必要かどうかわかるものなのでしょうか？

3歳の時に抗生物質を飲んだあと肺炎になり入院した経験があるので飲ませるのが少しこわいのですが、やはり飲ませるべきでしょうか。気にしなくて良いことですか？

ちなみに受診の１週間前に38度の熱が出たのでその風邪の鼻水かもしれません。ただ鼻づまりは1.2ヶ月続いてたようにも思います。（何度か風邪をひいていたのでそのせいかもと思っていました。）
度々頭痛もあります。

あれこれ考えず抗生物質を飲ませて良いでしょうか。