長引く咳と痰がらみの嘔吐

10歳未満/女性 - 2025/04/05

7歳の子供です。
咳が3,4週間前から続いています。
花粉症なのでそのせい？そのせいかと思い、小児科や耳鼻科を受診してアレルギーの薬や痰切りの薬等処方されてきました。少し落ち着いたけれど、痰はなかなか切れず、夜中にむせこむことが続くタイミングで兄弟から胃腸炎をうつされました。嘔吐下痢は落ち着きましたが、むせこむことが悪化しました。
就寝時と日中、どちらも数回ですが、むせ込み顔を真っ赤にするまで咳が止まらず鼻水が鼻から垂れるまで咳き込み続けます。そして嘔吐してしまいます。鼻水が垂れてくるとやっと咳も治まり（というかやめる？）、鼻を噛んで落ち着くといった感じです。
小児科へ行くと、説明しても痰切りとアレルギーの薬のみでます。耳鼻科に行くと抗生剤も出していただけますが、咳は耳鼻科なのか悩みます。一向に治る気配がありません。
小児科と耳鼻科、どちらを受診するのが正解なのでしょうか。