診察をうけるべきかどうか？何科？

50代/男性 - 2025/04/19

５０代男性主人の事で宜しくお願いします。
6日前に夜勤明けで帰宅後、咳をするので様子をみていたら、熱もなく喉が痛いとのこと、週末明け大学病院の内科で診察。聴診器と喉を視て、風邪をこじらせたのでしょう、とのことでせき止め(メジコン)のみ処方され、飲んでましたが、ほとんど効果がなく、咳は逆にひどくなった気がします。
そこで、呼吸器内科か、耳鼻咽喉科に行くか悩んでいます。症状は今日時点では、咳は頻度は少なくなっており、喉は少しまだ痛い、痰は黄緑です。

病院に診察にいかなければいけないでしょうか？

本人はだいぶ楽だし様子みたいと話しています。
私は恐い病気も隠れているかも、、と心配なので、
どうぞ先生方ご回答宜しくお願い致します。